Ejercicio de integral definida I parte: resolviendo primeramente la integral indefinida

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Saludos amigos de la plataforma hive.

Seguramente te preguntaras: ¿Porque el titulo se refiere a la solución de una integral definida en la que se va a resolver primeramente la integral indefinida?

La respuesta a este interrogante se centra en que toda integral definida antes de aplicar el 2do teorema fundamental del cálculo, teorema que ya fue explicado en el post anterior ¿Qué es una integral definida y cómo es su abordaje? se debe resolver primeramente lo que esta dentro del integrando, y esto no es nada más que la resolución de una integral indefinida o antiderivada como la conocemos comúnmente, por lo que pudiéramos decir que una integral definida queda completamente resuelta cuando se aplica el segundo teorema fundamental del cálculo, es decir cuando se sustituyen los limites de integración tanto superior como inferior.

Para la segunda parte en la solución de este ejercicio nos centraremos en tomar la antiderivada de la integral planteada y a esa antiderivada le aplicaremos el 2do teorema fundamental del cálculo para sustituir los limites de integración y finalmente resolver la integral definida propuesta.

100_7325.JPG

Para la solución de la integral indefinida (antiderivada) aplicamos el método de integración por sustitución o cambio de variable, para este caso en particular la solución por este método tiene algo en particular que es lo siguiente:

Si elegimos como U= 1+X, el du sera el dx, por lo tanto nos toca despejar la variable x para que todo quede en función de una sola variable que sería [U], se procede entonces a aplicar propiedad distributiva y se resuelven los dos integrandos por la regla básica de integración de la potencia, y la integral indefinida no queda resuelta sin antes devolver el cambio de variable, en donde la U= 1+X, es decir en donde este la variable U colocamos 1+X

Resolver la siguiente integral definida.jpg

El resultado final de esta primera parte en donde solo se encuentra la integral indefinida o antiderivada sería:

image.png

Para resolver la integral deifinida se le debe aplicar el 2do teorema fundamental del cálculo y sustituir en la variable x de este resultado (solución a la integral indefinida) los limites superior e inferior, por lo que se puede concluir que el resultado de una integral deifinida siempre sera un número real siempre y cuando los limites de integración tanto superior como inferior sean números reales.

Sin más que agregar les invito a visualizar este vídeo educativo en donde se aborda un ejercicio de una integral definida para ser resuelta en dos partes.

Referencia consultada y recomendada

Libro de cálculo con geometría analítica de Louis Leithold. Séptima edición


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Como de costumbre @carlos84 brindándonos tus excelentes conocimientos en integrales un material util para los estudiantes que se encuentran en sus casas por el coronavirus. Saludos.

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