Cálculo diferencial aplicado a la cinemática | Aceleración instantánea

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Saludos amigos de la comunidad hive.

Introducción

En el mismo orden de ideas explicadas en mi serie temática de cálculo infinitesimal, esta vez quiero desarrollar un artículo educativo y muy importante a nivel universitario, en donde tanto docentes como alumnos pueden encontrar otra variante aplicativa de la derivada de funciones reales dentro de lo que es el ritmo de cambio.

Dentro de este contexto es necesario ubicarnos en la historia que tiene sus raíces en la antigüedad, exactamente en el tiempo donde Newton y Leibniz desarrollaron lo que hoy en día conocemos como cálculo infinitesimal.

Realmente el conocimiento que hoy en día tenemos sobre lo que es la derivada de una función real se lo debemos a esa necesidad física de encontrar la velocidad o aceleración de un móvil que se desplaza en línea recta en donde se conoce un solo punto de su trayectoria.

En base a esas incógnitas que se generaron a partir de esa rama de la física como lo es la cinemática es que nace el cálculo infinitesimal y específicamente lo que hoy en día conocemos como derivada de una función real.

¿Que tiene que ver la aplicación del ritmo de cambio con la cinemática de una partícula que se desplaza con aceleración variada?

Cómo explique en mi publicación Aplicaciones de la derivada: Crecimiento demográfico de bacterias en un cultivo una de las aplicaciones que tiene la derivada está relacionada a los ritmos de cambio, en este caso que vamos a tratar tenemos un caso de ritmo de cambio, ya que cuando un móvil se desplaza en línea recta, tal y como lo hacen los automóviles, estos tienen la particularidad de moverse y cambiar de posición a medida que el tiempo avanza, podemos decir entonces que estamos en la presencia de un ritmo de cambio, ya que la variable posición cambia a medida que el tiempo varia.

No solamente la posición cambia con respecto a la variable tiempo, sino que también podemos ver el caso de la variabilidad (ritmo de cambio) existente entre la velocidad y el tiempo, es decir si la velocidad de un móvil puede variar con respecto al tiempo es porque este puede estar acelerando desacelerando dependiendo de cómo sea el movimiento.

^{Wikimedia commons. Dominio Público}

Lo importante en este ejemplo de ritmo de cambio es que muchas veces queremos saber la posición de un objeto en un instante de tiempo, es decir cuando solo se conoce un instante de tiempo, como por ejemplo saber la velocidad a los 2 segundos, o por ejemplo conocer la aceleración a los 7 segundos.

La derivada de una función real para ser aplicada como ritmo de cambio es fundamental cuando se tiene que calcular la velocidad o aceleración cuando no se tiene un intervalo de tiempo, como por ejemplo: calcular la velocidad en el intervalo de tiempo de 1 a 3 segundos, o calcular la aceleración en un intervalo de tiempo de 2 a 8 segundos. Para el ejemplo que le vengo a presentar se tiene que calcular la aceleración instantánea de un automóvil específicamente a tiempo determinado.

Ejercicio que fundamenta la aplicación de la derivada como ritmo de cambio para el cálculo de la aceleración instantánea.

La velocidad de un automóvil que parte del reposo viene dada por la siguiente función:

En donde v se mide en pies/seg. Calcular la aceleración a los 5 segundos de haber iniciado el movimiento.

Solución

Como se pide calcular la aceleración del automóvil en un instante especifico de tiempo ( 5 segundos) y como se tiene como dato la función velocidad v(t) entonces lo que se tiene que hacer es derivar la función velocidad y sustituir t= 5 segundos en la primera derivada de la función velocidad.

El resultado obtenido va hacer la aceleración del automóvil cuando lleva 5 segundos y se va a medir en pies sobre segundos al cuadrado.

La derivada de la función velocidad se resuelve aplicando la regla básica de derivación del cociente, la cual fue explicada en el post Aplicaciones de la derivada: Crecimiento demográfico de bacterias en un cultivo, la solución va tal y como sigue:

Tal y como se explicó en la solución del problema, una vez encontrada la derivada de la función velocidad procedemos a sustituir t = 5 segundos en la derivada de la función velocidad:

Una vez que realizamos la sustitución de t = 5 segundos en la derivada de la función velocidad obtenemos el resultado de 2,4 pies por cada segundo cuadrado, lo que significa que de cero segundos hasta 5 segundos por cada segundo que pasaba el automóvil llevaba una velocidad 2,4 pies por segundo.

Para este caso podemos ver evidenciado que el movimiento en línea recta que experimento el automóvil fue uniformemente acelerado.

Conclusiones y aportes

Es importante recalcar que esta aplicación nos hace tener una visión más amplia de lo que significan los cálculos realizados para calcular velocidad y aceleración en estos tipos de movimiento que estudia la cinemática de una partícula, esta visión más amplia radica en el hecho de ampliar nuestros conocimientos al cálculo diferencial, ya que la velocidad no siempre la vamos a poder conseguir de forma tradicional como muchos la llegamos a calcular cuando nos encontrábamos en la educación media y diversificada en el que solo empleamos la sustitución de un conjunto de fórmulas.

Realmente el ejemplo explicado en este caso nos lleva a comprender mucho mejor las diferentes variantes que tiene el movimiento rectilíneo uniforme y acelerado, sobre todo cuando se requiere calcula la velocidad y/o aceleración en un instante especifico de tiempo.

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Nota:

El ejercicio explicado en esta publicación es un ejercicio propuesto por el libro de cálculo de Larson Volumen I 8va edición de la sección 2.3 en la página 129, el ejercicio en mención es el # 116.

Todas las ecuaciones empleadas para explicar el ejercicio son de mi autoría y fueran elaboradas utilizando las herramientas de diseño de Microsoft Word 2011.

La tercera imagen mostrada en este post es de mi autoría y fue elaborada aplicando las herramientas de diseño de Microsoft PowerPoint, y para la parte animada de la imagen utilice el programa PhotoScape.

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Referencia consultada y recomendada

Libro de cálculo con Geometría analítica. Autor: Larson y Hostetler. Volumen I