Saludos y bienvenidos a este blog sobre Geometría Descriptiva. En esta ocasión entramos en el tema de los SÓLIDOS, cuerpos geométricos tridimensionales y su modelado mediante el programa SketchUp.

Dentro del campo de la Geometría Descriptiva, tenemos el estudio de las herramientas o procedimientos que podemos utilizar para construir un objeto tridimensional en el plano por medio de la doble proyección ortogonal, es decir, vistas del objeto desde dos planos de proyección: el horizontal y el vertical. Pero estas herramientas deben ponerse en práctica para la construcción de algún objeto tridimensional concreto y no hay mejor opción para empezar en esto que los sólidos, cuerpos geométricos ampliamente conocidos y de fácil reconocimiento.

Sin embargo, los sólidos están subdivididos en dos categorías principales: los cuerpos redondos (cilindros, conos, esferas, etc.) y poliedros. La presente publicación abordará específicamente a los poliedros, los cuales a su vez se subdividen en regulares y radiales. Los poliedros regulares serán abordados en la siguiente publicación mientras que en la presente nos concentraremos en el modelado de los poliedros radiales mediante SketchUp así como otros poliedros particulares como cuñas y poliedros truncados.

A través de la presente publicación se mostrará cómo vincular la teoría de la Geometría Descriptiva con el uso de un programa de modelado tridimensional como lo es SketchUp, de manera que no solo tengamos el conocimiento sobre el mundo de los cuerpos geométricos, sino que sepamos como modelar estos a través de este programa, ganando la capacidad de comunicar o expresar ideas en el lenguaje de la geometría.

Antes de proceder a representar estos cuerpos en el plano mediante lápiz y papel a través de la doble proyección ortogonal, es mejor abordarlos desde el punto de vista tridimensional para así adquirir una mejor noción de los mismos.

Poliedros

El poliedro puede definirse simplemente como cualquier cuerpo tridimensional el cual posee como superficie únicamente caras planas. Siguiendo esta idea obviamente una esfera o un cono no pueden ser poliedros. Los poliedros poseen algunos elementos que deben ser definidos:

•Cara: una cara es cualquier superficie plana del poliedro, delimitada por las aristas.

•Arista: recordemos de anteriores publicaciones que la intersección de dos planos genera una recta, en este sentido una arista es una recta, generada por la intersección de dos de las caras del poliedro.

•Vértice: también podemos aplicar conceptos vistos en anteriores publicaciones (ver material recomendado), en donde la intersección de dos rectas genera un punto, o visto de otra forma, la intersección de tres planos genera un punto. En consecuencia, un vértice es un punto, que se genera por la intercepción de aristas o por la intersección de tres caras. Un caso particular es el vértice principal, también llamado cúspide, el cual es el vértice superior de una pirámide.

•Base: en un poliedro cualquiera, la base sería la superficie inferior, en una pirámide sería la cara que se encuentra opuesta al vértice principal.

•Cresta: esta es una recta característica de las cuñas la cual se genera por la unión de los vértices superiores o la intercepción de dos de sus caras laterales.

Ahora tenemos pirámides, prismas y cuñas, pero ¿Qué son los poliedros radiales?

De manera simplificada, podemos decir que los poliedros radiales son las pirámides y los prismas. Es decir, cuerpos que poseen una configuración geométrica de manera tal que pueden ser generados a través de líneas generatrices las cuales se desplazan a través de una directriz para generar las superficies laterales. Visto de otra forma, podemos establecer cierta analogía con el cono y el cilindro, en donde la generatriz es cualquier línea que al “girar” alrededor de un eje central genera las superficies laterales de estos y la directriz sería una línea que “dirige” a la generatriz de acuerdo a la forma de la base y de si se trata de un cono o cilindro.

También tenemos algunos otros elementos como la el eje, presente siempre en poliedros radiales (pirámides y prismas), la cual pasa por el centro geométrico de su base de manera perpendicular a esta. La altura sería simplemente la distancia vertical que el poliedro radial logra abarcar.

Tenemos casos particulares de los poliedros radiales dados bien sea por la inclinación del eje (pirámides y prismas oblicuos) o por la eliminación de una parte de los mismos a través de un corte dado por un plano de sección (pirámides o prismas truncados). La presencia de solo dos vértices en la parte superior es característica de las cuñas, las cuales se pueden clasificar como partes de un poliedro.

Uso del programa SketchUp

Al abrir el programa SketchUp lo primero que haremos será deshabilitar la vista de los ejes de referencia rojo, verde y azul mediante la pestaña Ver->Ejes para así tener una vista más despejada del espacio de dibujo. Para obtener un fondo completamente blanco podemos irnos a Ventana->Estilos y seleccionar el estilo llamado “Sólido”. En la barra de herramientas “Estilos”, la cual si no la pueden ver, ir a Ver->Barras de herramientas->Estilos para mostrarla, tenemos la opción de activar la vista de las aristas posteriores que no tienen visibilidad para así mostrarlas mediante líneas discontinuas de color claro como se ve en la siguiente imagen.

Ahora, empezaremos a crear los poliedros radiales, empezando por el más sencillo: el prisma.

Lo primero que haremos será crear la base del prisma. Para ello utilizaremos la herramienta polígono. Lo primero que veremos será que el programa nos pide introducir un número de lados para el polígono. Si vamos a crear un prisma rectangular o recto entonces obviamente introduciremos cuatro (4), pero en este caso crearemos un prisma hexagonal, por lo que introduciremos el número seis (6).

El radio será un número arbitrario, podemos crear un hexágono de tamaño cualquiera haciendo click en cualquier punto de la pantalla.

Luego mediante la herramienta llamada “Empujar/tirar” vamos a extruir dicha superficie hexagonal verticalmente para darle tres dimensiones creando así un prisma. Bien podemos introducir una altura dada y dar Intro o hacer click en una altura cualquiera para crear el prisma.

Eso ha sido todo para crear un prisma de “n” caras laterales. Ahora veremos cómo hacerlo oblicuo. Para ello utilizaremos la herramienta Mover y haremos click sobre la superficie superior para desplazarlo en una dirección cualquiera. Puede que el programa solo nos deje desplazar la superficie verticalmente, en tal caso utilizamos las teclas izquierda o derecha para realizar el desplazamiento en dirección de alguno de los ejes principales que fueron ocultados previamente. En este caso desplazamos la cara superior en dirección del eje rojo deformando así el prisma.

Ya creado un prisma oblicuo, solo nos queda entonces truncar el prisma de manera que se elimine una porción del mismo. Para ello utilizaremos la herramienta Plano de sección y nos situaremos sobre la cara superior.

Luego de hacer click veremos una superficie que “corta” la cara superior. Mediante la herramienta Mover desplazaremos un poco hacia abajo dicho plano de sección y luego mediante la herramienta Rotar nos situaremos sobre alguna de las caras laterales del prisma y giraremos dicho plano de sección.

Ya tenemos un plano de sección cualquiera que “trunca” de alguna manera al cilindro. Ahora solo nos queda “sellar” dicha superficie. Lo que haremos será hacer click derecho sobre el plano de sección y seleccionar “Crear grupo del corte”.

Parecerá que no hemos hecho nada, pero luego eliminaremos el plano de sección mediante Borrar y veremos lo siguiente:

Se han creado automáticamente líneas sobre las caras laterales en donde antes estaba el plano de sección. Pero cabe aclarar que se ha creado un grupo y no líneas como tal. Daremos click derecho sobre una de las líneas nuevas y seleccionaremos lo siguiente:

Ahora eliminaremos las líneas de la parte superior del prisma que están de sobra para así obtener el “prisma oblicuo-truncado”. Sin embargo, podremos ver que ha quedado sin cara superior, por lo que mediante la herramienta Línea remarcaremos uno de los lados de esta cara superior para generar automáticamente una superficie:

De esta manera se ha modelado un prisma en tres dimensiones que además ha sido truncado y es oblicuo.

Ahora que ya tenemos alguna noción del uso de algunas herramientas de SketchUp, procedemos con la pirámide. Crearemos una base, la cual al igual que en el caso del prisma esta será de “n” lados. Para una pirámide recta necesitaremos cuatro (4) lados en la herramienta Polígono. El proceso es similar para cualquier número de lados, así que en este caso crearemos como base un pentágono.

Tal como se observa en la anterior imagen, se ha unido mediante una línea cada vértice del pentágono con el centro geométrico del mismo. Este es un paso necesario para poder crear cualquier pirámide en SketchUp. Posteriormente mediante la herramienta Mover seleccionaremos el centro geométrico donde concurren todas las líneas y lo desplazaremos verticalmente hacia arriba hasta una determinada distancia cualquiera o que introduzcamos en el programa para posteriormente dar Intro.

Y ya hemos creado la pirámide de base pentagonal.

El proceso para crear una pirámide oblicua es el mismo que con el prisma, solamente seleccionamos mediante la herramienta Mover el vértice principal o cúspide y lo desplazamos en alguna dirección cualquiera que no sea la vertical.

Y posteriormente para truncar la pirámide, situamos un plano de sección en la base de la misma, esto hará que no veamos nada de la pirámide, luego este plano de sección lo desplazamos verticalmente hacia arriba hasta situarlo en algún punto intermedio de la misma y así podremos ver la parte de la pirámide situada inferior al plano de sección. Luego este plano de sección se gira para darle una dirección inclinada y se ejecutan los mismos pasos realizados anteriormente para crear una cara superior.

Podríamos tomar como base para crear una cuña un cubo o prisma recto cualquiera, ya que las bases de estas suelen ser cuadradas. Recordemos que la cuña es un cuerpo cuya característica principal es que posee dos vértices en la parte superior, que serían sus vértices principales. Dicho esto, podemos empezar mediante la creación de un cubo en el programa SketchUp:

Sería conveniente que las aristas del cubo estén orientadas según los ejes de referencia verde, rojo y azul, ya que los utilizaremos a continuación. Para crear una cuña a partir de un cubo tenemos dos opciones: crear una cuña de cresta transversal o una cuña de cresta diagonal.

En el caso de la cresta transversal, debemos utilizar la herramienta Mover y situarnos sobre uno de las aristas superiores. Luego la vamos a desplazar hacia adentro del cubo, es decir, haciendo que la cara superior se convierta en un rectángulo cada vez más pequeño. En este caso, la arista seleccionada se encuentra perpendicular al eje verde por lo que se ha desplazado dicha arista en dirección paralela este eje pulsando la tecla “Izquierda” (fijando de esta manera la dirección de desplazamiento con el eje verde). Luego haremos referencia al punto medio (al colocar cursor sobre el punto medio de alguna recta veremos un punto azul claro) de alguna de las otras aristas transversales para que el desplazamiento termine justo en la mitad del cubo:

Repetimos el proceso con la otra arista superior:

De esta manera hemos creado una cuña con cresta transversal. Un caso particular de esta cuña sería la rampa en la cual una de las aristas superiores se desplaza no hasta la mitad sino hasta coincidir con la otra.

Podemos de igual manera crear cuñas de cresta ancha o angosta modificando la posición de los vértices principales desplazándolos hacia afuera o hacia adentro respectivamente:

Para crear una cuña de cresta diagonal debemos empezar nuevamente con el cubo. Crearemos una línea diagonal en la cara superior del cubo y luego desplazaremos cada uno de los dos vértices laterales a la diagonal hacia abajo hasta coincidir con el vértice inferior:

En la próxima publicación abordaré el modelado de los poliedros regulares, los cuales son un caso particular de los poliedros en los que todas sus aristas y caras son iguales, como lo son por ejemplo el tetraedro, el cubo, el octaedro, etc.

Aportes de esta publicación

Cuando ponemos en práctica la construcción objetos en tres dimensiones mediante el programa SketchUp, aprovechando al máximo las herramientas que este posee, vemos que nuestra capacidad para entender y expresarnos mediante la geometría adquiere un nuevo nivel, y el desarrollo de la comprensión espacial se incrementa. De nuevo vemos como podemos vincular la teoría de la Geometría Descriptiva con las herramientas computacionales, para de esta manera tener una mejor destreza a la hora de irnos al plano, es decir, la doble proyección ortogonal, donde la capacidad de abstracción y la comprensión espacial es requerida para representar objetos tridimensionales.

Referencias Bibliográficas

•Osers et al (2012). Estudio de Geometría Descriptiva (14va Edición). Editorial Torino. Caracas. (P. 116-117, 123)._{Fuente para consulta (doceava edición)}

Material recomendado

•Di Pietro, Donato (1985). Geometría Descriptiva. Editorial Alsina. Buenos Aires.

•Izquierdo Asensi, F (1957). Geometría Descriptiva. Editorial Paraninfo. Madrid.

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte I

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte II: rectas

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte III: algunos problemas de rectas

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte IV: planos

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte V: rectas características del plano

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte VI: intersección de planos

•Geometría Descriptiva: visibilidad de objetos 3D con la ayuda del programa SketchUp

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Imágenes de autoría propia, realizadas mediante el programa SketchUp 8 y posteriormente editadas con Microsoft PowerPoint.

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Publicado mediante STEM.OpenHIVE

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