El empleo de las ecuaciones de equilibrio estático en sistemas con cargas perpendiculares al plano, puede convertirse en un principio en un dolor de cabeza para los estudiantes. Previamente, abordamos los principios generales de estas estructuras planas, las cuales se proyectan en el plano X-Y, a diferencia de las usuales que se proyectan en el plano X-Z o Y-Z:

•Introducción a las estructuras con cargas perpendiculares al plano | Estática Aplicada

Esta publicación proporciona una guía al empleo efectivo de las ecuaciones de equilibrio estático en estos sistemas con cargas perpendiculares a él. Lo común es estudiar sistemas con cargas en su plano, ya que este análisis es lo más común en la vida real. Pero al llevar esto a otra proyección, el estudiante puede encontrar difícil acostumbrarse a este nuevo sistema.

Como ya he mencionado en la anterior publicación, este tema no es común en el estudio de la Estática o en el Análisis Estructural en general. Pero puede formar parte del programa en algunas universidades.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio en esta proyección de estructuras están relacionadas con los grados de libertad que estamos tomando en cuenta. Esto ya lo mencionamos en la anterior publicación, donde los grados de libertad que nos interesan para estructuras planas en el plano X-Y, se establecen como 3: desplazamiento en Z (δ_Z), rotación en X (φ_X) y rotación en Y (φ_Y).

^Fuente

De esta manera, las tres ecuaciones de equilibrio que necesitamos verificar para asegurar el equilibrio estático del sistema se cumple, son las que necesitamos para que estos tres grados de libertad se anulen.

Para que no exista movimiento en el eje Z, la sumatoria de fuerzas paralela a dicho eje (Z) debe ser nula. De igual manera, para que no se de rotación alrededor de los ejes X y Y, la sumatoria de momentos alrededor de dichos ejes (X y Y) deben ser nulas.

Anteriormente, en los sistemas planos convencionales, teníamos tres ecuaciones básicas de equilibrio que consistían en: sumatorias de fuerzas en X y Y, y una sumatoria de momentos en el eje Z.

Regla de la mano derecha

Esta convención la utilizaremos para fijar un sentido positivo a los momentos, los cuales al estar señalados mediante flechas rectas se hace difícil en un principio como asignar un sentido positivo y uno negativo.

^{SVGguru, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons. Imagen editada mediante PowerPoint.}

Tal como se describe en la imagen, utilizaremos nuestra mano derecha para señalar el sentido positivo de estos momentos. Nuestro dedo pulgar derecho señala el sentido positivo de giro. El giro del resto de nuestros dedos señala la forma en que el momento actúa.

En la imagen anterior podemos ver el signo de distintos momentos en el plano X-Y. Este es el signo que debemos tomar al realizar la sumatoria de momentos ya sea en el eje X o en el eje Y. Sin embargo, los estudiantes suelen encontrar la mayor dificultad en el caso siguiente.

^{SVGguru, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons. Imagen editada mediante PowerPoint.}

El caso de fuerzas puntuales que poseen cierto brazo de momento respecto a un eje fijo, requiere de la suficiente comprensión espacial para evidenciar el sentido y el signo del momento causado por la fuerza puntual. Esto lo podemos entender mediante la siguiente imagen.

^{Imagen realizada mediante SketchUp 8.}

Ecuaciones de condición

Este aspecto no tiene tanta importancia en este tema de las estructuras con cargas perpendiculares al plano. Según lo visto en sistemas planos con cargas en su plano, las ecuaciones de condición representan:

...ecuaciones que se pueden plantear en subsistemas generados a partir de cortes en los vínculos internos aprovechando la no existencia de algunas incógnitas en estos. La restricción que un vínculo interno no proporciona se traduce en una ecuación de condición.

En el presente caso no abordaremos pasos tan complejos como los abordados en la Metodología para el cálculo de reacciones externas en sistemas isostáticos. Solamente nos interesa una ecuación de condición en particular: sumatoria de momento en rótulas.

Sabemos que el momento interno es nulo en las rótulas, por lo que estas nos servirán para situarnos en ellas y plantear una sumatoria de momentos hacia un lado u otro (subsistema). Esto nos permite obtener una ecuación que contiene solo incógnitas de interés.

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A diferencia de los sistemas normales (cargas en el plano), los momentos pueden encontrarse aplicados directamente sobre una rótula. Esto se ve en los ejercicios prácticos de la bibliografía disponible. En estos casos, debemos decidir nosotros hacia que "lado" o subsistema tomaremos en cuenta o no estos momentos aplicados sobre rótulas. En el siguiente ejemplo se ilustra esto:

^{Fuente: Rodríguez (2003). Estática de las estructuras, pág. 209.}

Al momento de plantear la sumatoria de momentos en la rótula "B", la convención adoptada es que estos momentos aplicados en rótulas se toman en cuenta solo en el subsistema que presenta la mayor "rigidez" o la mayor cantidad de restricciones/vinculaciones internas o externas.

Por ejemplo, al plantear sumatoria de momentos sobre la rótula "B", los momentos de 1 Ton-m se colocarán en el extremo del subsistema inferior (BC), ya que este presenta mayores restricciones externas en "C" respecto a las restricciones presentes en "A".

Esta ha sido la práctica adoptada por los profesores de esta materia, los cuales me instruyeron realizar esto en estos casos particulares. Hasta el momento, no he encontrado ninguna bibliografía que sustente esto explícitamente, pero la bibliografía disponible lo establece implícitamente al momento de resolver ejercicios.

Ejemplos prácticos

Para entender mejor esto, pondremos en práctica lo aprendido hasta ahora. Calcularemos las reacciones externas del siguiente sistema empleando las ecuaciones de equilibrio estático.

^{Fuente: Rodríguez (2003). Estática de las estructuras, pág. 219.}

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Debemos primero identificar las reacciones externas a calcular. Esto nos servirá para saber que estamos calculando, y debemos primero conocer de antemano las restricciones que brinda cada vínculo en este sistema de proyección de cargas en el plano X-Y. En la publicación anterior se ilustra esto. Las reacciones externas a calcular son las siguientes:

^{Error en imagen, sustituir M_CZ por M_CY}

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Luego de esto, observaremos las rótulas del sistema ya que ellas nos permitirán aplicar la sumatoria de momentos, ya sea alrededor del eje "X" o del eje "Y", para calcular las reacciones externas que nos interesan.

Sin embargo, en este sistema no tenemos rótulas, por lo que simplemente aplicaremos las ecuaciones de equilibrio de acuerdo a la disposición del sistema, en puntos donde se puedan anular algunas incógnitas para calcular otras.

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Podemos observar que una sumatoria de momentos alrededor del eje "Y" en cualquier punto del sistema, incluirá siempre a la incógnita de momento en el vínculo "C" (M_C^Y), ya que la línea allí se alinea con el eje "Y", señalando restricción de rotación alrededor de ese eje. También incluirá al menos una de las 2 incógnitas restantes, por lo que esta vía no nos proporcionará una ecuación con una sola incógnita que podamos despejar.

Sin embargo, una sumatoria de momentos alrededor del eje "X" no incluirá ningún momento incógnita, puesto que no lo hay. Si realizamos esto, ya sea en el punto "A" o en el punto "C", estamos anulando una de las dos incógnitas de fuerza (A_Z o C_Z), ya que una de las dos no tendrá "brazo" o distancia para realizar momento.

Realizaremos la sumatoria de momentos alrededor del eje "X" en el punto "C". Con esto calcularemos A_Z:

Ahora, una simple sumatoria de fuerzas en el eje "Z" solo tendrá una incógnita: C_Z.

Finalmente, podemos calcular M_C^Y con una sumatoria de momentos alrededor del eje "Y" en cualquier punto, ya que solo nos queda esa incógnita.

Aportes de esta publicación

Entender y manejar eficazmente al estudio de estructuras planas con cargas perpendiculares al plano requiere de un cierto grado de abstracción y comprensión espacial, ya que las cargas externas se representan en un plano de proyección que no permite ver directamente su sentido. Esto hace que sea un reto para los estudiantes aplicar las ecuaciones de equilibrio, especialmente la sumatoria de momentos. A través de esta publicación se brinda material inédito en la web que será útil para el estudio de este tema no tan común en la Estática.

Referencias

•Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 202-204, 209, 219)._Fuente

Material recomendado

•Introducción a las estructuras con cargas perpendiculares al plano | Estática Aplicada

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Imágenes de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y PowerPoint.

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