Análisis estructural de arco con doble geometría (circunferencia-parábola)

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El análisis estructural de miembros curvos implica estudiar arcos que pueden estar compuestos por más de una sola configuración geométrica. Esto quiere decir, que un arco no solo puede ser circular o parabólico, sino que puede contener ambas formas, o incluso seguir cualquier otra función matemática.

En esta ocasión, finalizaremos la serie de publicaciones dedicadas al análisis estructural de miembros curvos con un ejercicio práctico, el cual consiste en la siguiente figura:

Figura N°1


Se trata de un arco compuesto por un sector “AB” de forma circular y un sector “BC” que sigue una forma parabólica. A diferencia de los dos ejemplos abordados en las publicaciones previas, esta vez el arco se divide en dos cuerpos o chapas mediante un vínculo interno (rótula) que articula ambos lados y a su vez divide ambas formas geométricas.

Cabe destacar que el arco es isostático, y la presencia de dos cuerpos implica que los vínculos de apoyo deben poseer el número suficiente de restricciones para garantizar la estabilidad. Tenemos entonces, cuatro (4) reacciones o incógnitas externas a calcular: AH, AV y MA en el empotramiento de “A” y CV en el apoyo simple “C”.

Geometría

Debemos encontrar dos funciones para dos curvas: una circular (AB) y una parabólica (BC). En el caso del sector “AB”, tenemos tres puntos pertenecientes a la circunferencia que podemos utilizar para plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (“xo”, “yo” y el radio “R”), conociendo la ecuación general de una circunferencia:


En el caso de la parábola “BC”, tenemos solo dos puntos que sabemos que se encuentran sobre su curva. Ya que la ecuación general de una parábola posee tres parámetros desconocidos (a, b y c) necesitaremos una ecuación adicional. En este caso, tenemos un dato adicional: la pendiente del arco en el punto “B” es igual tanto para la circunferencia como para el círculo.

Esta condición adicional nos permite igualar la pendiente de ambas curvas y obtener así una ecuación adicional. Para ello, necesitaremos primero conocer la derivada de la función que define a la circunferencia, y evaluarla en el punto (8;-4) para de esta manera conocer la magnitud de la pendiente en dicho punto. Luego, se deriva la ecuación general de la parábola, obteniendo así una función que describe a su pendiente, y evaluemos esta derivada para el mismo punto, obteniendo una expresión que igualaremos al valor obtenido con la circunferencia:

Cálculo de reacciones externas

Antes de abordar el cálculo de parámetros estructurales, debemos primero conocer las reacciones externas, empleando las ecuaciones de equilibrio estático:


Cálculo de reacciones internas

Al igual que lo realizado en los ejemplos anteriores, debemos primero analizar la configuración de las cargas externas, previo a plantear el cálculo de las fuerzas internas. Podemos observar que la carga distribuida de 3000 kgf/m se aplica de manera uniforme a lo largo de todo el arco, de manera que esta no introduce discontinuidades en el sistema de cargas. Pasamos a analizar el resto de cargas externas.

En el punto “B”, justo sobre la rótula, se aplican dos fuerzas puntuales en horizontal y en vertical respectivamente. Este punto representa una discontinuidad, ya que la acción de ambas fuerzas puntuales externas generará variaciones (saltos) en la magnitud de las solicitaciones de fuerzas internas axial y cortante. De esta manera tendremos un primer tramo de “A” a “B” el cual debemos estudiar.

El momento de 1000 kgf-m se encuentra aplicado sobre el extremo del segmento “BC”, sin embargo, no actúa en el punto “B” ya que la rótula no admite momentos. Se puede asumir que la distancia entre el momento y la rótula es nula y que el momento no introduce otra discontinuidad adicional a la que ya existe debido a las cargas puntuales.

Por último, la fuerza horizontal de 3500 kgf está aplicada sobre el punto final del arco, por lo que no introduce ninguna discontinuidad a lo largo del recorrido del mismo. De esta manera, se definen dos tramos que debemos estudiar mediante cortes genéricos: tramo 1 (de “A” a “B”) y el tramo 2 (de “B” a “C”).

Corte 1-1

Realizando un corte en el primer tramo, obtenemos lo siguiente:

Figura N°2

Se han hallado las fuerzas internas en horizontal y vertical y el momento flector mediante las ecuaciones de equilibrio estático. Las distancias genéricas “x” y “y” se miden a partir del inicio del arco.


Corte 2-2

En el segundo tramo, se puede apreciar la rótula y las fuerzas externas que se aplican en ella. En la siguiente figura se puede apreciar los resultados ya simplificados para las fuerzas internas producto de aplicar las ecuaciones de equilibrio.

Figura N°3

Ecuaciones de transformación geométrica

Las fuerzas axiales y cortantes actúan de manera tangente y perpendicular al eje del arco en cada punto. Las fuerzas halladas previamente siguen una convención general (horizontal y vertical) y se hace necesario proyectarlas mediante una relación geométrica con la pendiente del arco en cada punto dado. Esto se logra mediante las siguientes ecuciones:

Fuente


Estas ecuaciones generales de transformación geométrica nos permiten hallar las solicitaciones en cualquier punto del arco, en función de las coordenadas “x” y “y” de dicho punto.

Bien podría sustituirse “y” por la función que define a cada curva, pero como podemos notar, la derivada de la función circunferencia nos brinda una función compleja si solo la expresáramos en función de “x”, por lo que se hace más práctico agregar una columna para “y” en la tabla que construiremos más adelante.


Cálculo de solicitaciones

Nos interesa calcular N, V y Mf (fuerza axial, cortante y momento flector) en puntos ubicados cada 0.50 metros separados en horizontal. Para esto construiremos una tabla con todos los parámetros que requieren las ecuaciones de transformación geométrica:

Tabla N°1


Análisis de los resultados

Con respecto a los resultados de fuerza axial, podemos notar que el arco, como resultado de la forma en que está dispuesto y apoyado, está sometido a tracción (tensión) en gran parte del segmento “AB” (hasta los 6.5 metros en “x”). La carga distribuida genera esto ya que el arco no empieza en un punto más bajo, sino que inicia en su punto más alto para luego descender hacia la derecha. Como resultado, la restricción de movimiento en el punto “A” hace que la carga distribuida tienda a “jalar” este segmento del arco, con un valor de tensión máximo de 3959,.9 kgf.

El segundo segmento “BC”, debido a su inclinación y restricción de movimiento vertical en el apoyo “B”, tiende naturalmente a ser comprimido, con un valor que aumenta (negativamente) hasta alcanzar -13444.8 kgf, un valor similar al valor de la reacción vertical en dicho punto, ya que la pendiente allí es elevada, haciendo que la fuera axial sea casi vertical.

La fuerza cortante posee un mayor valor en el punto “A”, con una magnitud de 19000 kgf, igual en magnitud que la reacción de apoyo vertical en dicho punto. Esto se debe a que dicho punto posee una pendiente nula, y la reacción vertical allí se refleja directamente como fuerza de corte. Luego va descendiendo a medida que se recorre el arco, donde en la rótula “B”, por efecto de las cargas puntuales allí aplicadas, tiene a bajar abruptamente a valores bajos, hasta que llega a “C” con un valor de 698.4 kgf.

El momento flector también alcanza su valor máximo en el punto “A”, producto del vínculo de empotramiento, que al restringir la rotación tiende a absorber el momento estático que se genera por todas las cargas externas. El momento llega a cero en el punto donde x=8 metros, ya que justo allí se encuentra la rótula y se valida que la ecuación hallada para el momento flector en el primer tramo es correcta. Para el segundo tramo, el momento aumenta ligeramente en magnitud para luego llegar a cero de nuevo en el último punto, donde se encuentra el apoyo simple (patín), el cual no restringe rotación, y el momento allí debe ser nulo.

Aportes de esta publicación

La presente entrega aborda el caso de un arco isostático con doble geometría y su análisis estructural, a través del estudio de sus parámetros geométricos y estructurales para luego aplicarlos todos en las ecuaciones de transformación geométrica. Esto proporciona material original en la web sobre el tema del análisis de miembros curvos, útil en el ámbito académico de Ingeniería Civil.

Referencias

[1] Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 124-133).Fuente

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Imágenes de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y PowerPoint. Tabla elaborada mediante Microsoft Excel.

Publicado mediante la dApp STEMsocial

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Su post ha sido valorado por @ramonycajal

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Muchas gracias al equipo de curación de Cervantes, saludos!

Tus resultados son extremadamente detallados, son excelentes para considerarlos como una guía confiable.

Gracias por el comentario! tiene razón, pues esto fue hecho para su aprovechamiento en el ámbito académico, este tema forma parte de una asignatura que no tiene muchas fuentes de referencia y esto le sirve a los estudiantes.. Saludos!