25-06-2026 - Mathematical analysis - Integrals [EN]-[IT]

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ENGLISH

25-06-2026 - Mathematical analysis - Integrals [EN]-[IT]
With this post I would like to give a brief instruction regarding the topic mentioned in question
(lesson/article code: MS_XX)

image created with artificial intelligence, the software used is ChatGPT

Introduction to integrals
Who, during mathematics lessons, has never heard of integrals? I believe that we have all heard this word during our school years. In my opinion, integrals are one of the hardest walls in mathematics to break down.
Let's start immediately by clarifying one thing... integrals are one of the main tools of Mathematical Analysis. Let's not argue about this.
If the derivative serves to understand how a quantity changes at a precise moment, the integral instead serves to add many small contributions to obtain an overall result.

The definite integral
The definite integral calculates a quantity between two values of x, for example between a and b.
Below is the mathematical representation.

We can say that on a geometric level, the formula written above represents the signed area between the graph of the function, the x axis and the vertical lines x=a and x=b.
ATTENTION: If the graph is above the x axis, the integral is positive, but if the graph is below the x axis, the integral is negative.

The connection between derivatives and integrals
Derivatives and integrals are inverse operations, a bit like multiplication and division.
While the derivative studies the instantaneous variation, the integral studies the total accumulation.
The derivative can give us the instantaneous power or the instantaneous flow rate, while the integral can give us the data of the energy consumed or the total volume transferred.

Practical applications of integrals

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Integrals are not easy to understand, but they are used in many technical and industrial fields, below I list some of them:
-Mechanics: calculation of displacements, work and energy.
-Economy: total revenue or cost starting from marginal revenue or costs.
-Statistics: probability in continuous distributions.
-Construction and design: areas, volumes, centers of gravity and moments of inertia

Conclusions
We can conclude by saying that integrals are mathematical tools that allow us to calculate a total quantity starting from continuously changing values. Intuitively, they add up infinitely many very small contributions. The definite integral is the area under the graph of a function.

History and questions
Integrals were not discovered by a single person: they arose gradually, but the two scholars who laid the foundations of modern integral calculus were Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz, in the second half of the seventeenth century.
Did you know that the symbol ∫ derives from an elongated S, the initial of the Latin word summa and which in fact indicates a sum of very small quantities?

ITALIAN

25-06-2026 - Analisi matematica - Gli integrali [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(codice lezione/articolo: MS_XX)

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT

Introduzione agli integrali
Chi, durante le lezioni di matematica, non ha mai sentito parlare degli integrali? Io credo che tutti, durante il periodo scolastico, abbiamo sentito questa parola. Secondo me gli integrali sono uno dei muri della matematica più duri da abbattere.
Partiamo subito con il chiarire una cosa... gli integrali sono uno degli strumenti principali dell’Analisi Matematica. Non discutiamo su questo.
Se la derivata serve a capire come cambia una grandezza in un preciso istante, l’integrale serve invece a sommare tanti piccoli contributi per ottenere un risultato complessivo.

L'integrale definito
L'integrale definito calcola una quantità compresa tra due valori di x, per esempio tra a e b.
Qui di seguito la rappresentazione matematica.

Possiamo dire che a livello geometrico, la formula scritta sopra, rappresenta l'area con segno compresa tra il grafico della funzione, l'asse x e le rette verticali x=a e x=b.
ATTENZIONE: Se il grafico è sopra l'asse x, l'integrale è positivo, se invece il grafico è sotto l'asse x, l'integrale è negativo.

Il collegamento tra derivate ed integrali
Derivate e integrali sono operazioni inverse, un po’ come moltiplicazione e divisione.
Mentre la derivata studia la variazione istantanea, l'integrale studia studia l’accumulo totale.
La derivata ci può fornire la potenza istantanea o la portata istantanea, mentre l'integrale può darci il dato dell'energia consumata o del volume totale trasferito.

Applicazioni pratiche degli integrali

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT

Gli integrali non sono semplici da comprendere, ma sono utilizzati in molti campi tecnici e industriali, qui di seguito ne elenco alcuni:
-Meccanica: calcolo di spostamenti, lavoro ed energia.
-Economia: ricavo o costo totale partendo da ricavi o costi marginali.
-Statistica: probabilità nelle distribuzioni continue.
-Edilizia e progettazione: aree, volumi, baricentri e momenti d’inerzia

Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che gli integrali sono strumenti matematici che permettono di calcolare una quantità totale partendo da valori che cambiano continuamente. In modo intuitivo, sommano infiniti contributi molto piccoli. L’integrale definito è l’area sotto il grafico di una funzione.

Cenni storici e domande
Gli integrali non furono scoperti da una sola persona: nacquero gradualmente, ma i due studiosi che posero le basi del calcolo integrale moderno furono Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, nella seconda metà del Seicento.
Sapevate che il simbolo ∫ deriva da una S allungata, iniziale della parola latina summa e che indica infatti una somma di quantità piccolissime?

THE END