18-04-2026 - Mathematical Analysis - Function Limits [EN]-[IT]

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ENGLISH

18-04-2026 - Mathematical Analysis - Function Limits [EN]-[IT]
With this post, I would like to provide a brief introduction to the topic mentioned above.
(lesson/article code: MS_01)

Image created with artificial intelligence, ChatGPT software used

Introduction to Function Limits

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We study function limits to understand the values ​​a function f assumes as the variable approaches a certain point indefinitely. The concept of limits is at the heart of mathematical analysis.
Technically, the limit encodes the behavior of f near the accumulation points of dom(f). If these points do not belong to the domain of f, the notion of limit allows, in a certain sense, to calculate f even where it is undefined, assigning it a value that summarizes its asymptotic behavior.

Below is the written form of a function limit:

Discursive definition of function limit
Let's start with this mathematical definition and then I'll give a discursive definition of limit.

A function f(x) has a limit L for x → a if, for any arbitrarily small margin of error chosen on the function's values, it is possible to find an interval around a such that all the function's values, for x belonging to that interval (except possibly a), differ from L by less than that margin.

What does the writing x→a mean in a limit of a function
x→a = x tends to a

We might find the following expressions in limit exercises:
x→1
x→0
x→+∞
Referring to what was written above, these expressions mean:
x→1 → “x tends to 1”
x→0 → “x tends to 0”
x→+∞ → “x tends to plus infinity”

Exercise

Let's try to calculate the following limit:

If we try to table the data from -6 to +6, we notice the values following

We immediately see that for x=2 the value of y is undefined, meaning that for x=2 the function does not exist, or that the function is not defined at x=2.

Let's expand our analysis by adding other values ​​to make the study more precise.

We arrive at this graph

Analysis of the Limit of a Function
Now we can perform an analysis and say that as our function approaches 2, the following happens:
from the left it goes to −∞
from the right it goes to +∞

The limit for x → 2 does not exist as a unique finite limit.

We can say that at x = 2 there is a vertical asymptote and the equation of the vertical asymptote is x = 2.

Geometric Meaning
The graph of the function, approaching the vertical line x = 2:
from the left it descends downwards without limit
from the right it ascends upwards without limit

Conclusions
The limit of a function is a fundamental tool in mathematical analysis because it allows us to describe the behavior of a function in Near a point, even when the function is not defined at that point.
From an operational standpoint, limits allow us to study the continuity of functions or identify discontinuities.

Historical Notes and Questions
The concept of limits originates from ancient geometric problems, was developed in the 17th century with infinitesimal calculus, and was formalized in the 19th century.
Did you know that today they represent a fundamental tool for describing continuous phenomena in mathematics, physics, and engineering?

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ITALIAN

18-04-2026 - Analisi matematica - Limiti di funzioni [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(codice lezione/articolo: MS_01)

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT

Introduzione ai limiti di funzioni

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Studiamo i limiti di funzione per comprendere i valori che una funzione f assume quando la variabile si avvicina indefinitamente ad un certo punto. Il concetto di limite rappresenta il cuore dell'analisi matematica.
Tecnicamente il limite codifica il comportamento di f vicino ai punti di accumulazione di dom(f), se tali punti non appartengono al dominio di f, la nozione di limite permette, in un certo senso, di calcolare f anche dove essa non è definita, assegnandole un valore che ne riassume l'andamento asintotico.
Qui di seguito la forma scritta di un limite di funzione:

Definizione discorsiva di limite di funzione
Partiamo da questa scrittura matematica e poi darò una definizione discorsiva di limite.

Una funzione f(x) ha limite L per x→a se, per ogni margine di errore arbitrariamente piccolo scelto sui valori della funzione, è possibile trovare un intervallo attorno ad a tale che tutti i valori della funzione, per x appartenente a tale intervallo (escluso eventualmente a), differiscono da L meno di tale margine.

Cosa significa in un limite di funzione la scrittura x→a
x→a = x tende ad a

Potremmo trovare negli esercizi dei limiti le seguenti diciture:
x→1
x→0
x→+∞
Riprendendo quanto scritto sopra queste diciture significano:
x→1 → “x tende a 1”
x→0 → “x tende a 0”
x→+∞ → “x tende a più infinito

Esercizio

Proviamo a calcolare il limite seguente:

Se proviamo ad intabellare i dati da -6 a +6 notiamo i valori seguenti

Vediamo subito che per x=2 il valore di y è indefinito, cioè possiamo dire che per x=2 la funzione non esiste, o che la funzione non è definita in x=2

Ampliamo la nostra analisi aggiungendo altri valori per rendere più preciso lo studio.

Arriviamo ad ottenere questo grafico

Analisi del limite di funzione
Ora possiamo fare un'analisi e dire che la nostra funzione quando si avvicina a 2 succede che:
da sinistra va a −∞
da destra va a +∞

il limite per x→2 non esiste come limite finito unico.

Possiamo dire che in x = 2 c'è un asintoto verticale e l'equazione dell'asintoto verticale è x=2

Significato geometrico
Il grafico della funzione, avvicinandosi alla retta verticale x=2:
da sinistra scende verso il basso senza limite
da destra sale verso l’alto senza limite

Conclusioni
Il limite di una funzione è uno strumento fondamentale dell’Analisi Matematica perché permette di descrivere il comportamento di una funzione nelle vicinanze di un punto, anche quando la funzione non è definita in quel punto.
Dal punto di vista operativo, il limite consente di studiare la continuità delle funzioni o individuare discontinuità.

Cenni storici e domande
Il concetto di limite nasce da problemi geometrici antichi, viene sviluppato nel Seicento con il calcolo infinitesimale e viene formalizzato nel XIX secolo.
Sapevate che oggi rappresenta uno strumento fondamentale per descrivere fenomeni continui in matematica, fisica e ingegneria?

THE END