¿Qué son los Sistemas Axiomáticos y que representan en el ámbito de la Matemática?

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Saludos apreciada comunidad científica, es grato para mi nuevamente iniciar la publicación de aportes en este espacio, venciendo dificultades en pro de sumar conocimientos matemáticos para el debate académico. En esta oportunidad quiero hablarles de un tema que en muchas ocasiones se da por sentado, incluso es una suerte para un estudiante de la Matemática conocer en detalle al respecto, resulta pues que los Sistemas Axiomáticos son el pan nuestro de todos los días en la referida ciencia, hacemos a cada rato uso de los mismos sin saberlo, por lo cual considero oportuno tratar de profundizar sobre este tema en vías de enriquecer la formación adecuada del mismo.

Lo primero que debemos entender antes de pasar formalmente a la comprensión de los Sistemas Axiomáticos, es precisamente ¿qué es un axioma?. La Matemática como ciencia formal y estructurada se apoya en formas conceptuales que la ayudan a tener sentido y orden, de allí que escuchamos o leemos denominaciones tales como: axiomas, definiciones, teoremas, proposiciones, algoritmos, propiedades, leyes, enunciados, entre otros. En este sentido, cuando hablamos de un axioma nos referimos a una verdad preconcebida que no requiere ser demostrada por ser lógicamente evidente, por lo cual la suma de varios axiomas podrían conformar un sistema axiomático si y sólo si cumple con las características de: consistencia, completitud e independencia.

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Ahora bien, como sabemos la Matemática es deductiva y se apoya muchas veces en la Lógica para garantizar sus coherencia interna, por lo cual, resulta claro que la concepción de axiomas en torno a un fenómeno no se deriva de un mero capricho científico, más bien tiene que ver precisamente con un proceso de observación y búsqueda de comprensión del universo circundante, de allí, sometido a serios y rigurosos procedimientos científicos se comienza a concluir que cierto fenómeno existe porque de hecho cumple con ciertas condiciones que sumadas comienzan a darle estructura a la comprensión del mismo. No obstante, esto es apenas el primer paso, en tanto que una vez construído en base a la lógica y coherencia científica un Sistema de Axiomas, el mismo debería servir de apoyo para demostrar otras verdades que no pueden ser aceptadas sin someterlas a un riguroso proceso de comprobación.

De lo afirmado, podemos asegurar entonces que un Sistema Axiomático es una estructura conformada por un número de axiomas o verdades concebidas a priori que cumplen con las condiciones de consistencia, completitud e independencia y que sirven de soporte para el estudio de estructuras matemáticas más complejas.

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Adicionalmente, se puede decir que esta importante estructura tiene sus cimientos originales en el mismo Aristóteles a quien se atribuyen los primeros aportes axiomáticos de lo que conocemos como Lógica Proposicional o Matemática en la actualidad. Asimismo, otro Sistema Axiomático de gran importancia para el estudio de las estructuras geométricas se le reconoce a Euclides, el cual dio forma a su propia estructura axiomática de cinco (5) enunciados que permitieron demostrar ciertos teremas de la Geometría. No podemos obviar de este grupo de aportadores al destacado Giuseppe Peano quien dio forma a los muy famosos y estudiados Axiomas de Peano de gran utilidad no sólo en la Aritmética, sino en el Álgebra Abstracta, a pesar de que Kurt Gödel más adelante formula un teorema acerca de la incompletitud de los mismos.

Una vez que se han dejado claros los conceptos de Axiomas y Sistemas Axiomáticos, conviene entender que estos últimos pueden expresar su axiomatización de dos formas:

  • La primera se asume en un lenguaje natural sin dejar de ser riguroso, por lo cual se le denomina expresión informal

  • La segunda se muestra en estricto lenguaje simbólico y abstracto, el cual es que naturalmente empleamos en los procesos de demostración Matemática. A ésta se le conoce como expresión formal.

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Vale destacar, que en los textos matemáticos las definiciones que comúnmente encontramos generalmente son expresadas de ambas maneras, en tanto que una (informal) facilita la comprensión de la otra (formal), lo cual resulta conveniente cuando se trata de concepciones que apenas estamos conociendo y la estamos abordando de forma autodidacta.

En adición a lo expresado, y entendiendo en primer lugar que la expresión o axiomatización formal es la que generalmente utilizamos en la ejecución de procedimientos matemáticos y en segundo lugar que los Sistemas Axiomáticos Formales son expresados mediantes abstracciones lógicas y coherentes, es válido entonces señalar que en la construción de los mismos se requieren los siguientes elementos:

  • Un conjunto de letras y números, en algunos casos, por decisión del creador, se hace uso del alfabeto griego aunque no se obvía el uso del alfabeto tradicional.

  • Conectores y operadores lógicos y/o matemáticos que son precisamente los que permitirán vincular los elementos alfanuméricos de acuerdo a principios preconcebidos.

  • Signos de Agrupación, muy necesarios para brindar coherencia a lo que se quiere expresar.

¿Por qué son importantes los Sistemas Axiomáticos?

Suele suceder que en la cotidianidad académica y científica hacemos usos de ciertas estructuras matemáticas sin advertir si quiera de que se tratan, como se les denomina y el recorrido histórico de las mismas, incluso, en casos muy lamentables, se les utiliza desde una perspectiva mecanicista y autómata que no da lugar a indagar sobre las mismas por que a fin de cuenta sólo el proceso importa. Desde el ámbito de formación en Matemática, si bien es cierto que existen carreras o profesiones cuyo éxito se logra precisamente en la automatización y optimización de los procedimientos, más aún si se trata de una empresa empeñada en generar capital y progreso, tales conocimientos no tienen que ser parte de esa cotidianidad.

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No obstante, a manera de ampliar el saber y comprender todo lo que costó tener tales facilidades en la actualidad, creo que es conveniente que todos los que nos desempeñemos directa o indirectamente en el ámbito matemático o en el uso de sus saberes, manejemos en profundidad y con plena conciencia lo que hacemos. Ocurre en todas las subáreas de la Matemática, pero en el caso del Álgebra considero que incluso los saberes curriculares de la misma ni siquiera están en muchos pensum de estudios universitarios, quizás porque aparentemente no serán de utilidad al futuro profesional. Y es desde esa visión que no se profundiza en los saberes meramente abstractos de la Matemática como es el caso del tema que les presento o incluso las Estructuras Algebraicas en general.

Conocer los Sistemas Axiomáticos es muy importante para el que hace uso de la ciencia matemática, en tanto que estas estructuras son la que le otorgan ese carácter de formalidad propio de la misma. Toda la Matemática que existe en la actualidad se cimenta en estos sistemas que utilizamos a cada instante sin saber ni siquiera lo que son. Otro aspecto que fortalece su importancia es que como base de esta ciencia que explica nuestro entorno, guardan una conexión muy importante con la Lógica en la cual se apoya, una ciencia que incluso es más cotidiana y utilizada por los seres humanos, al menos desde su perspectiva natural.

En los próximos post de naturaleza científica, seguiré ahondando en saberes matemáticos abstractos, abordados desde una visión educativa y reflexiva, porque formar en STEM también es importante para garantizar su estudio en las futuras generaciones. Saludos cordiales para todos.





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