Circuitos R-C: Carga de un Capacitor

En los circuitos que analizamos en las publicaciones anteriores, hemos dicho o mejor hemos trabajado con unas fem y resistencias constantes; es decir, que son independientes del tiempo lo que nos conlleva a suponer que los potenciales, corrientes y potencias también trabajan independientes del tiempo. Pero resulta, que en el simple momento cuando un capacitor se carga y descarga se nos presenta una situación en la que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el transcurrir del tiempo. Es por ello que el día de hoy hablaremos un poco sobre los Circuitos R-C: Carga de un Capacitor.

Muchos de los dispositivos que usamos en nuestra cotidianidad incluyen circuitos en los que se carga y descarga un capacitor. Entre los más comunes se encuentran los marcapasos médicos, los semáforos intermitentes, las luces de cruce de los automóviles y las unidades de destello electrónico; lo que nos refleja que es de gran importancia poder comprender lo que ocurre en los circuitos de este tipo.

Ahora bien, ¿Cómo es la carga de un capacitor? Para ello, primero es propicio que analicemos con detenimiento el diagrama que se presenta a continuación, el cual consta de un circuito simple para cargar un capacitor.

Un circuito como ese, donde se encuentren conectados un resistor y un capacitor en serie, es lo que se le conoce como un circuito R-C. En este tipo de conexión se idealiza la batería o fuente de energía de modo tal que la fem constante posea una resistencia interna nula, es decir 0, y no se toma en cuenta la resistencia de todos los conductores de conexión.

En principio el capacitor se encuentra descargado; después, en cierto tiempo inicial se cierra el interruptor para así completar el circuito y con ello permitir que la corriente circule a través del mismo y así comience a cargar el capacitor, tal como lo podemos ver en la imagen a continuación.

Como inicialmente el capacitor esta descargado, la diferencia de potencial Vbc entre los extremos es cero en un tiempo igualmente cero. En ese momento y de acuerdo con la ley de las espiras de Kirchhoff, el voltaje Vab entre los extremos del resistor R es igual a la fem de la batería. Por otra parte, la corriente inicial a través del resistor, a la que llamaremos Io y que está dada por la ley de Ohm:

A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vbc aumenta y la diferencia de potencial Vab entre los extremos del resistor disminuye, lo que corresponde a una reducción de corriente. Por otra parte, la suma de estos voltajes es constante e igual a ε. Al cabo del transcurso de un largo tiempo el capacitor se carga totalmente, entonces la corriente disminuye hasta cero y la diferencia de potencial Vab entre los extremos del resistor se hace cero. Justo en ese momento aparece la totalidad de la fem de la batería entre los bornes del capacitor y Vbc = Ɛ.

Si es q es la carga del capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo t después de cerrar el interruptor. Si se le asigna el sentido positivo a la corriente en correspondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor, las diferencias de potencial instantáneas Vab y Vbc son

Si utilizamos estas expresiones en la ley de Kirchhoff de las espiras, podemos obtener que:

Como el potencial cae en una cantidad iR al pasar de a a b y q/C al pasar de b a c, después de resolver se obtiene:

Cuando el tiempo es cero y el interruptor inicialmente se cierra, el capacitor está descargado y por ende q = 0. Si sustituimos q = 0 en la expresión anterior, resulta que la corriente inicial estará dada por Io = Ɛ/R, pero si el capacitor estuviese ausente entonces el último término de la ecuación estaría ausente y por lo tanto la corriente seria constante e igual a Ɛ/R.

En concordancia con todo lo expuesto tenemos que si la carga aumenta, entonces el término q/RC crece y la carga del capacitor tiende a su valor final, al que se nombrará como Qf, de igual forma la corriente disminuye y termina desapareciendo, esto nos dice que:

Algo muy importante que recalcar es que en ésta ecuación la carga final no depende de R. Pero si vemos la grafica que se encuentra seguidamente, podemos detallar que la corriente y la carga del capacitor la cual están en función del tiempo, en el instante en el que se cierra el interruptor, justo cuando el tiempo es igual a cero, la corriente realiza un salto a su valor inicial Io = Ɛ/R; luego y a partir de ese punto comienza una aproximación gradualmente a cero. La carga del capacitor comienza en cero y poco a poco se aproxima a su valor inicial.

Resulta propicio resaltar que las expresiones generales se pueden deducir de la carga y la corriente en función del tiempo; como se le asigno el sentido positivo a la corriente, entonces i equivale a la rapidez con la que llega carga positiva a la placa izquierda del capacitor, es por ello que i = dq/dt, si realizamos la respectiva sustitución nos queda que:

Si reordenamos la ecuación nos queda

Si realizamos la respectiva integral cambiando las variables de integración a q` y t` y así podemos fijar a q como limites superiores.

Al resolver la integral obtenemos

Tomando el logaritmo inverso y resolviendo para q tenemos.

Como la corriente instantánea es la derivada con respecto al tiempo, finalmente obtenemos la expresión de un capacitor en carga en un circuito R-C.

Por último es importante acotar que tanto la carga como la corriente son funciones exponenciales del tiempo.

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